Vektor Kreuzproduktformel - Beispiele mit Excel-Vorlage

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Vector Cross Product Formula (Inhaltsverzeichnis)

  • Formel
  • Beispiele

Was ist die Vector Cross-Produktformel?

In der Vektoralgebra und Mathematik bezieht sich der Begriff "Vektorkreuzprodukt" auf die binären Operationen zwischen Vektoren in der dreidimensionalen Geometrie. Das Kreuzprodukt wird durch ein Kreuzzeichen "x" zwischen den beiden Vektoren gekennzeichnet, und die Kreuzproduktoperation führt zu einem anderen Vektor, der senkrecht zu der Ebene ist, die die ersten beiden Vektoren enthält. Die Formel für das Vektorkreuzprodukt kann abgeleitet werden, indem die Absolutwerte der beiden Vektoren und der Sinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren multipliziert werden. Nehmen wir das mathematisch an ein und b sind zwei Vektoren, so dass a = a 1 i + a 2 j + a 3 k und b = b 1 i + b 2 j + b 3 k, dann wird das Vektorkreuzprodukt dargestellt als

ax b = |a| |b| sinθ n

wo θ = Winkel zwischen ein und b

| a | = √ (a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 )

| b | = √ (b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 )

n = Einheitsvektor senkrecht zu beiden ein und b

Ferner kann das Vektorkreuzprodukt auch in seine dreidimensionalen Vektorkomponenten, dh i, j und k, die alle senkrecht zueinander stehen, expandiert werden. Die Formel für das Vektorkreuzprodukt wird dargestellt als

ax b = i (a 2 b 3 – a 3 b 2 ) + j (a 3 b 1 – a 1 b 3 ) + k (a 1 b 2 – a 2 b 1 )

Beispiele für eine produktübergreifende Vektorformel (mit Excel-Vorlage)

Nehmen wir ein Beispiel, um die Berechnung des Vector Cross Product besser zu verstehen.

Sie können diese Excel-Vorlage für Vektor-Kreuzproduktformeln hier herunterladen - Excel-Vorlage für Vektor-Kreuzproduktformeln

Vektor-Kreuzproduktformel - Beispiel # 1

Nehmen wir das Beispiel zweier Vektoren ein und b so, dass ihre skalare Größe ist | a | = 5 und | b | = 3, während der Winkel zwischen den beiden Vektoren 30 Grad beträgt. Berechnen Sie das Vektorkreuzprodukt der beiden Vektoren.

Lösung:

Das Vektorkreuzprodukt der beiden Vektoren wird mit der unten angegebenen Formel berechnet

Axt b = | a | | b | sinθ n

  • Axt b = 5 * 3 * sin30 n
  • Axt b = 7, 5 n

Daher ist das Vektorkreuzprodukt der beiden Vektoren 7, 5.

Vektor-Kreuzproduktformel - Beispiel # 2

Nehmen wir das Beispiel zweier Vektoren a (4, 2, -5) und b (2, -3, 7) so dass a = 4i + 2j - 5k und b = 2i - 3j + 7k. Berechnen Sie das Vektorkreuzprodukt der beiden Vektoren.

Lösung:

Das Vektorkreuzprodukt der beiden Vektoren wird mit der unten angegebenen Formel berechnet

Axt b = i (a 2 b 3 - a 3 b 2 ) + j (a 3 b 1 - a 1 b 3 ) + k (a 1 b 2 - a 2 b 1 )

  • Axt b = i (2 · 7 - (-5) · (-3)) + j ((-5) · 2 - 4 · 7) + k (4 · (-3) · 2 · 2)
  • Axt b = -i + ( - 38 j ) + ( - 16 k )

Daher ist das Vektorkreuzprodukt der beiden Vektoren (4, 2, -5) und (2, -3, 7) (-1, -38, -16).

Vector Cross Product Formula - Beispiel # 3

Nehmen wir das Beispiel eines Parallelogramms, dessen benachbarte Seiten durch die beiden Vektoren definiert sind a (6, 3, 1) und b (3, -1, 5) so dass a = 6i + 3j + 1k und b = 3i - 1j + 5k. Berechnen Sie die Fläche des Parallelogramms.

Lösung:

Nun kann das Vektorkreuzprodukt der beiden Vektoren unter Verwendung der obigen Formel berechnet werden als

Axt b = i (a 2 b 3 - a 3 b 2 ) + j (a 3 b 1 - a 1 b 3 ) + k (a 1 b 2 - a 2 b 1 )

  • Axt b = i (3 * 5 - 1 * (-1)) + j (1 * 3 - 6 * 5) + k (6 * (-1) - 3 * 3)
  • Axt b = 16 i + ( - 27 j ) + ( - 15 k )

Nun kann die Fläche des Parallelogramms abgeleitet werden, indem die Größe des Vektorkreuzprodukts wie folgt berechnet wird:

  • Axt b | = √ ((16) 2 + (-27) 2 + (-15) 2 )
  • Axt b | = 34, 79

Daher beträgt die Fläche des Parallelogramms 34, 79.

Erläuterung

Die Formel für das Vektorkreuzprodukt kann unter Verwendung der folgenden Schritte abgeleitet werden:

Schritt 1: Bestimmen Sie zunächst den ersten Vektor a und seine Vektorkomponenten.

Schritt 2: Bestimmen Sie als nächstes den zweiten Vektor b und seine Vektorkomponenten.

Schritt 3: Bestimmen Sie als nächstes den Winkel zwischen der Ebene der beiden Vektoren, der mit θ bezeichnet ist .

Schritt 4: Schließlich kreuzt die Formel für den Vektor das Produkt zwischen den Vektoren ein und b kann durch Multiplikation der absoluten Werte von abgeleitet werden ein und b, das dann mit dem Sinus des Winkels (Schritt 3) zwischen den beiden Vektoren multipliziert wird, wie unten gezeigt.

Axt b = | a | | b | sinθ n

Relevanz und Verwendung der Vector Cross Product Formula

Das Konzept des Vektorkreuzprodukts findet vielfältige Anwendung in den Bereichen Ingenieurwesen, Mathematik, Computergeometrie, Physik, Computerprogrammierung usw. Das zugrunde liegende Konzept hilft uns nicht nur bei der Bestimmung der Größe der Skalarkomponente des Produkts zweier Vektoren, sondern auch bei der Bestimmung der Größe der Skalarkomponente Es gibt auch die Richtung des Resultierenden an. Ferner wird es auch verwendet, um den Winkel zwischen den Ebenen der beiden Vektoren zu bestimmen. Das Konzept und die Anwendungen von Vektor-Kreuzprodukten können sehr komplex und interessant sein.

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Dies ist eine Anleitung zur Vector Cross-Produktformel. Hier besprechen wir die Berechnung der Vector Cross Product Formula zusammen mit praktischen Beispielen und einer herunterladbaren Excel-Vorlage. Sie können sich auch die folgenden Artikel ansehen, um mehr zu erfahren -

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