Einführung in die Bessel-Funktion

Bessel-Funktionen, auch Zylinderfunktionen genannt, wie sie vom Mathematiker Daniel Bernoulli definiert und dann von Friedrich Bessel verallgemeinert werden, sind die Lösungen der Bessel-Differentialgleichung zweiter Ordnung, die als Bessel-Gleichung bekannt ist. Die Lösungen dieser Gleichungen können die erste und die zweite Art sein.

x^2y"+xy'+(x^2-n^2) y=0

Wenn die Methode der Variablentrennung auf Laplace-Gleichungen angewendet wird oder die Gleichungen der Wärme- und Wellenausbreitung gelöst werden, führen sie zu Bessel-Differentialgleichungen. MATLAB bietet diese komplexe und erweiterte Funktion "Bessel", und der Buchstabe gefolgt von einem Schlüsselwort entscheidet über die erste, zweite und dritte Art der Bessel-Funktion.

Arten von Bessel-Funktionen in MATLAB

Die allgemeine Lösung der Besselschen Differentialgleichung hat zwei linear abhängige Lösungen:

Y= A Jν(x)+B Yν(x)

1. Bessel-Funktion erster Art

Die Bessel-Funktion der ersten Art, Jν (x), ist bei x = 0 für alle reellen Werte von v endlich. In MATLAB wird sie durch das Schlüsselwort besselj dargestellt und folgt der folgenden Syntax:

  • Y = besselj (nu, z): Dies gibt die Bessel-Funktion der ersten Art für jedes Element in Array Z zurück.
  • Y = besselj (nu, Z, scale) : Gibt an, ob die Bessel-Funktion exponentiell skaliert werden soll. Der Skalierungswert kann 0 oder 1 sein. Wenn er 0 ist, ist keine Skalierung erforderlich. Wenn der Wert 1 ist, müssen wir die Ausgabe skalieren.
  • Die Eingabeargumente sind nu und z, wobei nu die als Vektor, Matrix usw. angegebene Gleichungsreihenfolge und eine reelle Zahl ist. Z kann ein Vektor, ein Skalar oder ein mehrdimensionales Array sein. Nu und z müssen gleich groß sein oder einer von ihnen ist skalar.

2. Bessel-Funktion zweiter Art (Yν (x))

Es ist auch als Weber- oder Neumann-Funktion bekannt, die bei x = 0 singulär ist. In MATLAB wird es durch das Schlüsselwort bessely dargestellt und folgt der folgenden Syntax:

  • Y = bessely (nu, Z): Dies berechnet die Bessel-Funktion der zweiten Art Yν (x) für jedes Element in Array Z.
  • Y = bessely (nu, Z, scale) : Gibt an, ob die Bessel-Funktion exponentiell skaliert werden soll. Der Skalierungswert kann 0 oder 1 sein. Wenn er 0 ist, ist keine Skalierung erforderlich. Wenn der Wert 1 ist, müssen wir die Ausgabe skalieren.
  • Die Eingabeargumente sind nu und z, wobei nu die als Vektor, Matrix usw. angegebene Gleichungsreihenfolge und eine reelle Zahl ist. Z kann ein Vektor, ein Skalar oder ein mehrdimensionales Array sein. Nu und z müssen gleich groß sein oder einer von ihnen ist skalar.

3. Bessel-Funktion der dritten Art

Es wird durch das Schlüsselwort besselh dargestellt und folgt der folgenden Syntax:

  • H = besselh (nu, Z) : Dies berechnet die Hankel-Funktion für jedes Element in Array Z
  • H = besselh (nu, K, Z ): Dies berechnet die Hankel-Funktion der ersten oder zweiten Art für jedes Element in Array Z, wobei K 1 oder 2 sein kann. Wenn K 1 ist, berechnet es die Bessel-Funktion der ersten Art und wenn K 2 ist, berechnet es die Bessel-Funktion der zweiten Art.
  • H = besselh (nu, K, Z, scale ): Gibt an, ob die Bessel-Funktion exponentiell skaliert werden soll. Der Skalierungswert kann 0 oder 1 sein. Wenn er 0 ist, ist keine Skalierung erforderlich. Wenn der Wert 1 ist, müssen wir die Ausgabe in Abhängigkeit vom Wert von K skalieren.

Modifizierte Bessel-Funktionen

1. Modifizierte Bessel-Funktion der ersten Art

Es wird durch das Schlüsselwort besseli dargestellt und folgt der folgenden Syntax:

  • I = besseli (nu, Z): Dies berechnet die modifizierte Bessel-Funktion erster Art I ν ( z ) für jedes Element in Array Z.
  • I = besseli (nu, Z, scale): Gibt an, ob die Bessel-Funktion exponentiell skaliert werden soll. Wenn der Maßstab 0 ist, ist keine Skalierung erforderlich, und wenn der Maßstab 1 ist, muss der Ausgang skaliert werden.
  • Die Eingabeargumente sind nu und z, wobei nu die als Vektor, Matrix usw. angegebene Gleichungsreihenfolge und eine reelle Zahl ist. Z kann ein Vektor, ein Skalar oder ein mehrdimensionales Array sein. Nu und z müssen gleich groß sein oder einer von ihnen ist skalar.

2. Modifizierte Bessel-Funktion der zweiten Art

Es wird durch das Schlüsselwort besselk dargestellt und folgt der folgenden Syntax:

  • K = besselk (nu, Z): Dies berechnet die modifizierte Bessel-Funktion zweiter Art K ν (z) für jedes Element in Array Z.
  • K = besselk (nu, Z, scale): Gibt an, ob die Bessel-Funktion exponentiell skaliert werden soll. Wenn die Skalierung 0 ist, ist keine Skalierung erforderlich, und wenn die Skalierung 1 ist, muss die Ausgabe skaliert werden.
  • Die Eingabeargumente sind nu und z, wobei nu die als Vektor, Matrix usw. angegebene Gleichungsreihenfolge und eine reelle Zahl ist. Z kann ein Vektor, ein Skalar oder ein mehrdimensionales Array sein. Nu und z müssen gleich groß sein oder einer von ihnen ist skalar.

Anwendungen der Bessel-Funktion

Nachfolgend sind die verschiedenen Anwendungen der Bessel-Funktion aufgeführt:

  • Elektronik und Signalverarbeitung : Das Bessel-Filter folgt der Bessel-Funktion, um ein wellenförmiges Signal im Durchlassbereich zu erhalten. Dies wird hauptsächlich in Audio-Crossover-Systemen verwendet. Es wird auch in der FM-Synthese (Frequenzmodulation) verwendet, um die harmonische Verteilung eines Sinuswellensignals zu erklären, das von einem anderen Sinuswellensignal moduliert wird. Kaiser-Fenster, das der Bessel-Funktion folgt, kann in der digitalen Signalverarbeitung verwendet werden.
  • Akustik : Hier werden die verschiedenen Schwingungsarten in verschiedenen akustischen Membranen wie z. B. einer Trommel erklärt.
  • Es erklärt die Lösung der Schrödinger-Gleichung in Kugel- und Zylinderkoordinaten für ein freies Teilchen.
  • Es erklärt die Dynamik von Schwimmkörpern.
  • Wärmeleitung: Wärmefluss- und Wärmeleitungsgleichungen in einem hohlen, unendlichen Zylinder können aus der Besselschen Differentialgleichung erzeugt werden.

Fazit

Es gibt viele andere Anwendungen, die Bessel-Funktionen wie Mikrofondesign, Smartphone-Design usw. verwenden. Daher ist die Auswahl des richtigen Koordinatensystems erforderlich. Wenn wir Probleme mit zylindrischen oder sphärischen Koordinaten haben, wird die Bessel-Funktion natürlich angezeigt.

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Dies ist eine Anleitung zu den Bessel-Funktionen in MATLAB. Hier diskutieren wir die Einführung und die Arten von Bessel-Funktionen in MATLAB, die zusammen mit Anwendungen von Bessel-Funktionen modifiziert wurden. Sie können auch unsere anderen Artikelvorschläge durchgehen, um mehr zu erfahren.

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