Unsicherheitsformel (Inhaltsverzeichnis)

  • Formel
  • Beispiele

Was ist die Unsicherheitsformel?

Im statistischen Sprachgebrauch wird der Begriff „Unsicherheit“ mit einer Messung assoziiert, bei der er sich auf die erwartete Änderung des Werts bezieht, die sich aus einem Durchschnitt mehrerer Messwerte aus dem wahren Mittelwert des Datensatzes oder der Messwerte ergibt. Mit anderen Worten kann die Unsicherheit als Standardabweichung des Mittelwerts des Datensatzes betrachtet werden. Die Formel für die Unsicherheit kann abgeleitet werden, indem die Quadrate der Abweichung jeder Variablen vom Mittelwert aufsummiert werden, das Ergebnis durch das Produkt aus der Anzahl der Messwerte und der Anzahl der Messwerte minus eins dividiert und dann die Quadratwurzel des Ergebnisses berechnet wird . Mathematisch wird die Unsicherheitsformel wie folgt dargestellt:

Uncertainty (u) = √ (∑ (x i – μ) 2 / (n * (n – 1)))

Wo,

  • x i = i- tes Einlesen des Datensatzes
  • μ = Mittelwert des Datensatzes
  • n = Anzahl der Messwerte im Datensatz

Beispiele für Unsicherheitsformeln (mit Excel-Vorlage)

Nehmen wir ein Beispiel, um die Berechnung der Unsicherheit besser zu verstehen.

Sie können diese Excel-Vorlage für Unsicherheitsformeln hier herunterladen - Excel-Vorlage für Unsicherheitsformeln

Unsicherheitsformel - Beispiel # 1

Nehmen wir das Beispiel eines 100-Meter-Rennens in einer Schulveranstaltung. Das Rennen wurde mit fünf verschiedenen Stoppuhren zeitlich festgelegt und jede Stoppuhr zeichnete ein etwas anderes Timing auf. Die Messwerte sind 15, 33 Sekunden, 15, 21 Sekunden, 15, 31 Sekunden, 15, 25 Sekunden und 15, 35 Sekunden. Berechnen Sie die Unsicherheit des Timings anhand der angegebenen Informationen und geben Sie das Timing mit einem Konfidenzniveau von 68% an.

Lösung:

Mittelwert wird berechnet als:

Jetzt müssen wir die Abweichungen von jedem Messwert berechnen

Berechnen Sie in ähnlicher Weise für alle Messwerte

Berechnen Sie das Quadrat der Abweichungen für jeden Messwert

Die Unsicherheit wird nach der unten angegebenen Formel berechnet

Unsicherheit (u) = √ (∑ (x i - μ) 2 / (n * (n-1))

  • Unsicherheit = 0, 03 Sekunden

Timing bei 68% Konfidenzniveau = μ ± 1 * u

  • Messung bei 68% Konfidenzniveau = (15, 29 ± 1 * 0, 03) Sekunden
  • Messung bei 68% Konfidenzniveau = (15, 29 ± 0, 03) Sekunden

Daher beträgt die Unsicherheit des Datensatzes 0, 03 Sekunden und der Zeitpunkt kann als (15, 29 ± 0, 03) Sekunden bei einem Konfidenzniveau von 68% dargestellt werden.

Unsicherheitsformel - Beispiel 2

Nehmen wir das Beispiel von John, der beschlossen hat, sein unfruchtbares Grundstück zu verkaufen. Er möchte die verfügbare Fläche des Grundstücks messen. Gemäß den Angaben des bestellten Vermessers wurden 5 Messungen vorgenommen - 50, 33 Morgen, 50, 20 Morgen, 50, 51 Morgen, 50, 66 Morgen und 50, 40 Morgen. Drücken Sie die Landmessung mit einem Konfidenzniveau von 95% und 99% aus.

Lösung:

Mittelwert wird berechnet als:

Jetzt müssen wir die Abweichungen von jedem Messwert berechnen

Berechnen Sie in ähnlicher Weise für alle Messwerte

Berechnen Sie das Quadrat der Abweichungen für jeden Messwert

Die Unsicherheit wird nach der unten angegebenen Formel berechnet

Unsicherheit (u) = √ (∑ (x i - μ) 2 / (n * (n-1))

  • Unsicherheit = 0, 08 Morgen

Messung bei 95% Konfidenzniveau = μ ± 2 * u

  • Messung bei 95% Konfidenzniveau = (50, 42 ± 2 * 0, 08) Morgen
  • Messung bei 95% Konfidenzniveau = (50, 42 ± 0, 16) Morgen

Messung bei 99% Konfidenzniveau = μ ± 3 * u

  • Messung bei einem Konfidenzniveau von 99% = (50, 42 ± 3 * 0, 08) Morgen
  • Messung bei einem Konfidenzniveau von 99% = (50, 42 ± 0, 24) Morgen

Daher beträgt die Unsicherheit der Ablesungen 0, 08 Morgen und die Messung kann als (50, 42 ± 0, 16 Morgen) und (50, 42 ± 0, 24 Morgen) bei 95% und 99% Konfidenzniveau dargestellt werden.

Erläuterung

Die Formel für die Unsicherheit kann mithilfe der folgenden Schritte abgeleitet werden:

Schritt 1: Wählen Sie zunächst das Experiment und die zu messende Variable aus.

Schritt 2: Sammeln Sie als Nächstes durch wiederholte Messungen eine ausreichende Anzahl von Messwerten für das Experiment. Die Messwerte bilden den Datensatz und jeder Messwert wird mit x i bezeichnet .

Schritt 3: Bestimmen Sie als Nächstes die Anzahl der Messwerte im Datensatz, die mit n bezeichnet ist.

Schritt 4: Berechnen Sie als Nächstes den Mittelwert der Messwerte, indem Sie alle Messwerte im Datensatz summieren und dann das Ergebnis durch die Anzahl der im Datensatz verfügbaren Messwerte dividieren. Der Mittelwert wird mit μ bezeichnet.

μ = ∑ x i / n

Schritt 5: Berechnen Sie als Nächstes die Abweichung für alle Messwerte im Datensatz, dh die Differenz zwischen jedem Messwert und dem Mittelwert (x i - μ) .

Schritt 6: Berechnen Sie als nächstes das Quadrat aller Abweichungen, dh (x i - μ) 2 .

Schritt 7: Summieren Sie als nächstes alle quadratischen Abweichungen, dh ∑ (x i - μ) 2 .

Schritt 8: Als nächstes wird die obige Summe durch das Produkt einer Anzahl von Ablesungen und einer Anzahl von Ablesungen minus eins geteilt, dh n * (n - 1) .

Schritt 9: Schließlich kann die Formel für die Unsicherheit abgeleitet werden, indem die Quadratwurzel des obigen Ergebnisses wie unten gezeigt berechnet wird.

Unsicherheit (u) = √ (∑ (x i - μ) 2 ) / (n * (n-1))

Relevanz und Verwendung der Unsicherheitsformel

Aus der Perspektive statistischer Experimente ist das Konzept der Unsicherheit sehr wichtig, da es einem Statistiker hilft, die Variabilität der Messwerte zu bestimmen und die Messung mit einem gewissen Maß an Zuverlässigkeit abzuschätzen. Die Genauigkeit der Messunsicherheit ist jedoch nur so gut wie die Messergebnisse des Vermessers. Die Unsicherheit hilft bei der Schätzung der besten Annäherung für eine Messung.

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Dies war ein Leitfaden für die Unsicherheitsformel. Hier besprechen wir, wie die Unsicherheit mithilfe einer Formel berechnet wird, zusammen mit praktischen Beispielen und einer herunterladbaren Excel-Vorlage. Sie können sich auch die folgenden Artikel ansehen, um mehr zu erfahren -

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Entwicklung des Unternehmertums