Hypergeometrische Verteilungsformel (Inhaltsverzeichnis)

  • Formel
  • Beispiele

Was ist eine hypergeometrische Verteilungsformel?

Die hypergeometrische Verteilung ist grundsätzlich eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Statistik. Es ist der Binomialverteilung sehr ähnlich, und wir können mit Sicherheit sagen, dass die Binomialverteilung nur dann eine gute Annäherung für die hypergeometrische Verteilung darstellt, wenn 5% oder weniger der Population erfasst werden. Wenn wir zufällige Ziehungen haben, ist die hypergeometrische Verteilung eine Wahrscheinlichkeit für Erfolge, ohne den einmal gezogenen Gegenstand zu ersetzen. Bei einer Binomialverteilung wird die Wahrscheinlichkeit jedoch durch Ersetzen berechnet. Beispiel: Sie haben einen Korb mit N Bällen, von denen "n" schwarz sind, und Sie zeichnen "m" Bälle, ohne einen der Bälle zu ersetzen. Die hypergeometrische Verteilung ist also die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der aus dem Korb gezogenen schwarzen Kugeln.

Formel für die hypergeometrische Verteilung:

Probability of Hypergeometric Distribution = C(K, k) * C((N – K), (n – k)) / C(N, n)

Wo,

  • K - Anzahl der "Erfolge" in der Bevölkerung
  • k - Anzahl der "Erfolge" in der Stichprobe
  • N - Bevölkerungsgröße
  • n - Stichprobengröße

Um die Formel der hypergeometrischen Verteilung zu verstehen, sollte man sich der Binomialverteilung und auch der Kombinationsformel bewusst sein.

Kombinationsformel:

C (n, r) = n! / (r! * (nr)!)

  • n! - n Fakultät = n * (n-1) * (n-2) ……… .. * 1
  • r! - r Fakultät = r * (r-1) * (r-2) ……… .. * 1
  • (nr)! - (nr) Fakultät = (nr) * (nr-1) * (nr-2) ……… .. * 1

Beispiele für hypergeometrische Verteilungsformeln (mit Excel-Vorlage)

Nehmen wir ein Beispiel, um die Berechnung der hypergeometrischen Verteilung besser zu verstehen.

Sie können diese Excel-Vorlage für hypergeometrische Verteilungsformeln hier herunterladen - Excel-Vorlage für hypergeometrische Verteilungsformeln

Hypergeometrische Verteilungsformel - Beispiel 1

Angenommen, Sie haben ein Kartenspiel mit 30 Karten, von denen 12 schwarz und 18 gelb sind. Sie haben zufällig 5 Karten gezogen, ohne eine der Karten auszutauschen. Nun wollen Sie herausfinden, mit welcher Wahrscheinlichkeit genau 3 gelbe Karten gezogen werden.

Lösung:

Die hypergeometrische Verteilung wird mit der unten angegebenen Formel berechnet

Wahrscheinlichkeit der hypergeometrischen Verteilung = C (K, k) * C ((N - K), (n - k)) / C (N, n)

  • Wahrscheinlichkeit, genau 3 gelbe Karten zu erhalten = C (18, 3) * C ((30-18), (5-3)) / C (30, 5)
  • Wahrscheinlichkeit, genau 3 gelbe Karten zu erhalten = C (18, 3) * C (12, 2) / C (30, 5)
  • Wahrscheinlichkeit, genau 3 gelbe Karten zu erhalten = (18! / (3! * 15!)) * (12! / (2! * 10!)) / (30! / (5! * 25!))
  • Wahrscheinlichkeit, genau 3 gelbe Karten zu bekommen = 0.3779

Hypergeometrische Verteilungsformel - Beispiel 2

Angenommen, Sie leben in einer sehr kleinen Stadt mit 75 Frauen und 95 Männern. Jetzt gab es Abstimmungen in Ihrer Stadt und alle haben abgestimmt. Eine Stichprobe von 20 Wählern wurde zufällig ausgewählt. Sie möchten berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit genau 12 dieser Wähler männliche Wähler waren.

Lösung:

Die hypergeometrische Verteilung wird mit der unten angegebenen Formel berechnet

Wahrscheinlichkeit der hypergeometrischen Verteilung = C (K, k) * C ((N - K), (n - k)) / C (N, n)

  • Wahrscheinlichkeit, 12 männliche Wähler zu erhalten = C (95, 12) * C ((170-95), (20-12)) / C (170, 20)
  • Wahrscheinlichkeit, 12 männliche Wähler zu erhalten = C (95, 12) * C (75, 8) / C (170, 20)
  • Wahrscheinlichkeit, 12 männliche Wähler zu bekommen = (95! / (12! * 83!)) * (75! / (8! * 63!)) / (170! / (20! * 150!))
  • Wahrscheinlichkeit 12 männliche Wähler zu bekommen = 0.1766

Erläuterung

Wie oben diskutiert, ist die hypergeometrische Verteilung eine Verteilungswahrscheinlichkeit, die einer Binomialverteilung sehr ähnlich ist, mit dem Unterschied, dass in der hypergeometrischen Verteilung kein Ersatz zulässig ist. Um diese Art von Experiment oder Verteilung durchzuführen, müssen verschiedene Kriterien erfüllt sein.

  • In erster Linie müssen die erhobenen Daten diskret sein.
  • Jedes Auswählen oder Ziehen sollte nicht durch ein anderes ersetzt werden, da eine Zufallsvariable, wenn sie ohne Ersetzung gezeichnet wird, nicht unabhängig ist und in Beziehung zu dem steht, was zuvor gezeichnet wurde.
  • Es müssen 2 Gruppen unterschiedlicher Gruppen vorhanden sein, und Sie möchten die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von Mitgliedern einer Gruppe kennen. Im Abstimmungsbeispiel haben wir zum Beispiel Männer und Frauen. Im Taschenbeispiel haben wir eine gelbe und eine schwarze Gruppe.

Zusammen mit diesen Annahmen spielt das Wissen über die Kombination auch eine entscheidende Rolle bei der Durchführung einer hypergeometrischen Verteilung. Daher ist es unerlässlich, dass man die Konzepte der Kombination kennt, bevor man zur hypergeometrischen Verteilung übergeht.

Relevanz und Verwendung der hypergeometrischen Verteilungsformel

Die hypergeometrische Verteilung wird in der Statistik und im praktischen Leben vielfach verwendet. Die häufigste Verwendung der hypergeometrischen Verteilung, die wir oben in den Beispielen gesehen haben, ist die Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Stichproben, wenn sie aus einem Satz ohne Ersatz gezogen werden. Im wirklichen Leben ist das beste Beispiel die Lotterie. In einer Lotterie kann die Zahl nicht zurückgehen und ersetzt werden, sobald sie einmal vergeben ist. Daher ist die hypergeometrische Verteilung für diese Art von Situationen perfekt.

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Dies ist eine Anleitung zur hypergeometrischen Verteilungsformel. Hier diskutieren wir, wie die hypergeometrische Verteilung berechnet wird, zusammen mit praktischen Beispielen. Wir bieten auch eine herunterladbare Excel-Vorlage. Sie können sich auch die folgenden Artikel ansehen, um mehr zu erfahren -

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