Abweichungsformel (Inhaltsverzeichnis)

  • Formel
  • Beispiele

Was ist eine Varianzformel?

Der Begriff „Varianz“ bezieht sich auf das Ausmaß der Streuung der Datenpunkte eines Datensatzes von seinem Mittelwert, der als Durchschnitt der quadratischen Abweichung jedes Datenpunkts vom Populationsmittelwert berechnet wird. Die Formel für eine Varianz kann abgeleitet werden, indem die quadratische Abweichung jedes Datenpunkts summiert und das Ergebnis durch die Gesamtzahl der Datenpunkte im Datensatz dividiert wird. Mathematisch wird es dargestellt als

σ 2 = ∑ (X i – μ) 2 / N

wo,

  • X i = i- ter Datenpunkt im Datensatz
  • μ = Mittelwert der Grundgesamtheit
  • N = Anzahl der Datenpunkte in der Grundgesamtheit

Beispiele für Abweichungsformeln (mit Excel-Vorlage)

Nehmen wir ein Beispiel, um die Berechnung der Varianz besser zu verstehen.

Sie können diese Excel-Vorlage für Abweichungsformeln hier herunterladen - Excel-Vorlage für Abweichungsformeln

Varianzformel - Beispiel # 1

Nehmen wir das Beispiel eines Klassenzimmers mit 5 Schülern. Die Klasse hatte eine medizinische Untersuchung, bei der sie gewogen und die folgenden Daten erfasst wurden. Berechnen Sie die Varianz des Datensatzes anhand der angegebenen Informationen.

Lösung:

Der Bevölkerungsdurchschnitt wird berechnet als:

  • Populationsmittelwert = (30 kg + 33 kg + 39 kg + 29 kg + 34 kg) / 5
  • Populationsmittelwert = 33 kg

Jetzt müssen wir die Abweichung berechnen, dh die Differenz zwischen den Datenpunkten und dem Mittelwert.

Berechnen Sie in ähnlicher Weise für alle Werte des Datensatzes.

Berechnen wir nun die quadratischen Abweichungen für jeden Datenpunkt wie folgt:

Die Varianz wird mit der unten angegebenen Formel berechnet

σ 2 = ∑ (X i - μ) 2 / N

  • σ 2 = (9 + 0 + 36 + 16 + 1) / 5
  • σ 2 = 12, 4

Die Varianz des Datensatzes beträgt daher 12, 4 .

Varianzformel - Beispiel # 2

Nehmen wir das Beispiel eines Start-ups mit 8 Mitarbeitern. Das Alter aller Mitglieder ist angegeben. Berechnen Sie die Varianz des Datensatzes anhand der angegebenen Informationen.

Lösung:

Der Bevölkerungsdurchschnitt wird berechnet als:

  • Bevölkerungsdurchschnitt = (23 Jahre + 32 Jahre + 27 Jahre + 37 Jahre + 35 Jahre + 25 Jahre + 29 Jahre + 40 Jahre) / 8
  • Bevölkerungsdurchschnitt = 31 Jahre

Jetzt müssen wir die Abweichung berechnen, dh die Differenz zwischen den Datenpunkten und dem Mittelwert.

Berechnen Sie in ähnlicher Weise für alle Werte des Datensatzes.

Berechnen wir nun die quadratischen Abweichungen für jeden Datenpunkt wie folgt:

Die Varianz wird mit der unten angegebenen Formel berechnet

σ 2 = ∑ (X i - μ) 2 / N

  • σ 2 = (64 + 1 + 16 + 36 + 16 + 36 + 4 + 81) / 8
  • σ 2 = 31, 75

Die Varianz des Datensatzes beträgt daher 31, 75 .

Erläuterung

Die Formel für eine Varianz kann mithilfe der folgenden Schritte abgeleitet werden:

Schritt 1: Erstellen Sie zunächst eine Population mit einer großen Anzahl von Datenpunkten. Diese Datenpunkte werden mit X i bezeichnet .

Schritt 2: Berechnen Sie als nächstes die Anzahl der Datenpunkte in der Grundgesamtheit, die mit N bezeichnet wird.

Schritt 3: Berechnen Sie als Nächstes das Populationsmittel, indem Sie alle Datenpunkte addieren und das Ergebnis durch die Gesamtzahl der Datenpunkte (Schritt 2) in der Population dividieren. Das Populationsmittel wird mit μ bezeichnet.

μ = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 / N

oder

μ = ∑ X i / N

Schritt 4: Subtrahieren Sie als nächstes den Populationsmittelwert von jedem der Datenpunkte der Population, um die Abweichung jedes der Datenpunkte vom Mittelwert zu bestimmen, dh (X 1 - μ) ist die Abweichung für den 1. Datenpunkt, während ( X 2 - μ) steht für den 2. Datenpunkt usw.

Schritt 5: Bestimmen Sie als nächstes das Quadrat aller in Schritt 4 berechneten Abweichungen, dh (X i - μ) 2 .

Schritt 6: Addieren Sie als Nächstes alle in Schritt 5 berechneten quadratischen Abweichungen, dh (X 1 - μ) 2 + (X 2 - μ) 2 + (X 3 - μ) 2 + …… + (X n - μ) 2 oder ∑ (X i - μ) 2 .

Schritt 7: Schließlich kann die Formel für eine Varianz abgeleitet werden, indem die Summe der in Schritt 6 berechneten quadratischen Abweichungen durch die Gesamtzahl der Datenpunkte in der Grundgesamtheit (Schritt 2) dividiert wird, wie unten gezeigt.

σ 2 = ∑ (X i - μ) 2 / N

Relevanz und Verwendung der Varianzformel

Aus der Sicht eines Statistikers ist eine Varianz ein sehr wichtiges Konzept, um es zu verstehen, da sie häufig in der Wahrscheinlichkeitsverteilung verwendet wird, um die Variabilität (Volatilität) des Datensatzes gegenüber seinem Mittelwert zu messen. Die Volatilität dient als Maß für das Risiko, weshalb sich die Varianz als hilfreich für die Beurteilung des Portfoliorisikos eines Anlegers erweist. Eine Nullvarianz bedeutet, dass alle Variablen im Datensatz identisch sind. Andererseits kann eine höhere Varianz darauf hinweisen, dass alle Variablen im Datensatz weit vom Mittelwert entfernt sind, während eine niedrigere Varianz genau das Gegenteil bedeutet. Bitte beachten Sie, dass die Varianz niemals eine negative Zahl sein kann.

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Dies war ein Leitfaden für die Varianzformel. Hier diskutieren wir, wie die Varianz berechnet wird, zusammen mit praktischen Beispielen und einer herunterladbaren Excel-Vorlage. Sie können sich auch die folgenden Artikel ansehen, um mehr zu erfahren -

  1. Beispiele für eine Portfolio-Abweichungsformel (Excel-Vorlage)
  2. Leitfaden zur Formel für Populationsabweichungen
  3. Was ist die Quartilformel?
  4. Formel zur Berechnung der Stichprobengröße

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