Geometrische Verteilungsformel (Inhaltsverzeichnis)

  • Formel
  • Beispiele
  • Taschenrechner

Was ist die geometrische Verteilungsformel?

In der Statistik und der Wahrscheinlichkeitstheorie wird eine Zufallsvariable nur dann als geometrisch verteilt bezeichnet, wenn ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion als Funktion der Erfolgswahrscheinlichkeit und der Anzahl der Versuche ausgedrückt werden kann. Tatsächlich hilft die geometrische Verteilung bei der Bestimmung der Wahrscheinlichkeit des ersten Auftretens eines Erfolgs nach einer bestimmten Anzahl von Versuchen, wenn die Erfolgswahrscheinlichkeit gegeben ist. Wenn die Erfolgswahrscheinlichkeit 'p' ist, kann die Formel für die Wahrscheinlichkeit des ersten Auftretens des Erfolgs nach 'k' Versuchen abgeleitet werden, indem die Erfolgswahrscheinlichkeit mit eins multipliziert wird, abzüglich der Erfolgswahrscheinlichkeit, die mit der Potenz einer Zahl von erhöht wird Versuche minus eins. Mathematisch wird die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion wie folgt dargestellt:

P(X=k) = p * (1 – p) (k – 1)

Wo,

  • p = Erfolgswahrscheinlichkeit
  • k = Versuch, bei dem der erste Erfolg auftritt

Beispiele für geometrische Verteilungsformeln (mit Excel-Vorlage)

Nehmen wir ein Beispiel, um die Berechnung der geometrischen Verteilung besser zu verstehen.

Sie können diese Excel-Vorlage für eine geometrische Verteilungsformel hier herunterladen - Excel-Vorlage für eine geometrische Verteilungsformel

Geometrische Verteilungsformel - Beispiel 1

Nehmen wir das Beispiel eines Schlagmanns, der die ersten sieben Bälle nicht abschneiden konnte, aber eine Grenze der achten Lieferung traf, mit der er konfrontiert war. Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass der Schlagmann eine Grenze trifft, 0, 25 beträgt, berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Schlagmann nach acht Bällen die erste Grenze trifft.

Lösung:

Die Wahrscheinlichkeit wird unter Verwendung der unten angegebenen geometrischen Verteilungsformel berechnet

P = p * (1 - p) (k - 1)

  • Wahrscheinlichkeit = 0, 25 * (1 - 0, 25) (8 - 1)
  • Wahrscheinlichkeit = 0, 0334

Daher besteht eine Wahrscheinlichkeit von 0, 0334, dass der Schlagmann nach acht Bällen die erste Grenze erreicht.

Geometrische Verteilungsformel - Beispiel 2

Gehen wir nun zum Fußballsport über und nehmen wir einen Fußballer, der ein Tor mit einer Wahrscheinlichkeit von 0, 7 erzielt, wenn er den Ball für sich hat. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Fußballer sein erstes Tor erzielt, nachdem:

  • 8 Versuche
  • 6 Versuche
  • 4 Versuche
  • 2 Versuche

Lösung:

8 Versuche

Die Wahrscheinlichkeit wird unter Verwendung der unten angegebenen geometrischen Verteilungsformel berechnet

P = p * (1 - p) (k - 1)

  • Wahrscheinlichkeit = 0, 7 * (1 - 0, 7) (8 - 1)
  • Wahrscheinlichkeit = 0, 00015

6 Versuche

Die Wahrscheinlichkeit wird unter Verwendung der unten angegebenen geometrischen Verteilungsformel berechnet

P = p * (1 - p) (k - 1)

  • Wahrscheinlichkeit = 0, 7 * (1 - 0, 7) (6 - 1)
  • Wahrscheinlichkeit = 0, 0017

4 Versuche

Die Wahrscheinlichkeit wird unter Verwendung der unten angegebenen geometrischen Verteilungsformel berechnet

P = p * (1 - p) (k - 1)

  • Wahrscheinlichkeit = 0, 7 * (1 - 0, 7) (4 - 1)
  • Wahrscheinlichkeit = 0, 0189

2 Versuche

Die Wahrscheinlichkeit wird unter Verwendung der unten angegebenen geometrischen Verteilungsformel berechnet

P = p * (1 - p) (k - 1)

  • Wahrscheinlichkeit = 0, 7 * (1 - 0, 7) (2 - 1)
  • Wahrscheinlichkeit = 0, 21

Daher ist im obigen Beispiel ersichtlich, dass die Wahrscheinlichkeit des ersten Erfolgs mit der Zunahme der Anzahl fehlgeschlagener Versuche abnimmt, dh die Wahrscheinlichkeit des ersten Erfolgs ist von 0, 21 nach 2 Versuchen auf 0, 00015 nach 8 Versuchen gesunken.

Erläuterung

Die Formel für die geometrische Verteilung wird mithilfe der folgenden Schritte abgeleitet:

Schritt 1: Bestimmen Sie zunächst die Erfolgswahrscheinlichkeit des Ereignisses und es wird mit 'p' bezeichnet.

Schritt 2: Als nächstes kann daher die Ausfallwahrscheinlichkeit als (1 - p) berechnet werden.

Schritt 3: Bestimmen Sie als Nächstes die Anzahl der Versuche, bei denen der erste Erfolg verzeichnet wird oder die Erfolgswahrscheinlichkeit gleich eins ist. Die Anzahl der Versuche wird mit "k" bezeichnet.

Schritt 4: Schließlich kann die Formel für die Wahrscheinlichkeit des ersten Erfolgs nach 'k' Versuchen abgeleitet werden, indem zuerst die wahrscheinlichen Fehler berechnet werden, dh (1 - p), die auf die Anzahl der fehlgeschlagenen Versuche vor dem ersten Erfolg erhöht werden, dh (k - 1), und multiplizieren Sie dann das Ergebnis mit dem Erfolg im k-ten Versuch, wie unten gezeigt.

P (X = k) = p * (1 - p) (k - 1)

Relevanz und Verwendung der geometrischen Verteilungsformel

Das Konzept der geometrischen Verteilung findet Anwendung bei der Bestimmung der Wahrscheinlichkeit des ersten Erfolgs nach einer bestimmten Anzahl von Versuchen. Tatsächlich ist das geometrische Verteilungsmodell ein Sonderfall der negativen Binomialverteilung und gilt nur für die Abfolge unabhängiger Versuche, bei denen in jedem Versuch nur zwei Ergebnisse möglich sind. Es ist anzumerken, dass gemäß diesem Verteilungsmodell jede Zunahme einer Anzahl von fehlgeschlagenen Versuchen eine signifikante Verringerung der Wahrscheinlichkeit eines ersten Erfolgs ergibt. In solchen Fällen kann die Verteilung verwendet werden, um die Anzahl der Fehler vor dem ersten Erfolg zu bestimmen.

Formelrechner für die geometrische Verteilung

Sie können den folgenden geometrischen Verteilungsrechner verwenden

p
k
P (X = k)

P (X = k) = p * (1 - p) (k - 1)
= 0 * (1 - 0) (0-1) = 0

Empfohlene Artikel

Dies ist eine Anleitung zur geometrischen Verteilungsformel. Hier diskutieren wir, wie die geometrische Verteilung berechnet wird, zusammen mit praktischen Beispielen. Wir bieten auch einen geometrischen Verteilungsrechner mit herunterladbarer Excel-Vorlage. Sie können sich auch die folgenden Artikel ansehen, um mehr zu erfahren -

  1. Was ist eine hypergeometrische Verteilungsformel?
  2. Beispiele für die Poisson-Verteilungsformel
  3. T-Verteilungsformel (Beispiele mit Excel-Vorlage)
  4. Rechner für Standardnormalverteilungsformel

Kategorie:

Entwicklung des Unternehmertums